Número Binomial em Polinômios

Conhecimentos prévios que você precisa ter para compreender este artigo:

a) Fatorial de um número;

b) Produtos notáveis;

c) Regras de potenciação;

d) Multiplicação distributiva.

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Preparado paro nosso estudo?

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Já tentou desenvolver a expressão (x + y)³ ?

Certamente já deve ter feito isso com (x + y)²...

Vejamos... Vamos desenvolver essa expressão:

(x + y)² =

(x + y)⋅(x + y)=

x² + xy + xy +y² =

x² + 2xy + y²

Observe que se trata de um produto notável.

E agora você pode fazer o mesmo com (3x + y)² ?

Claro que sim... Vou te ajudar:

(3x + y)²=

(3x + y)⋅(3x + y)=

9x² + 3xy + 3xy + y² =

9x² + 6xy + y²

Voltando àquela primeira (x + y)³... Vamos desenvolvê-la:

(x+y)³=

(x+y)⋅(x+y)⋅(x+y)=

(x² + 2xy + y²)⋅(x+y)=

Observe que fiz os primeiros dois fatores e deixei o terceiro para depois...

(x² + 2xy + y²)⋅(x+y)=

x³ + x²y + 2x²y + 2xy² + xy² + y³ =

x³ +3x²y + 3xy² + y³

Ok! Agora vou deixar para você o desenvolvimento destes aqui de baixo:

Exercícios:

a) (x + 3y)² =

b) (2x + 4y)² =

c) (2x + 5)² =

d) (x + y)⁶ =

e) (3x + y)⁵ =

Tente desenvolver estes ai de cima e depois de terminar, daqui alguns minutos, volte aqui e confira as respostas que estarão mais adiante...

O que achou do trabalho em desenvolver as questões "d" e "e" ? Horrível? Trabalhoso? Cansativo?

Confira as respostas:

a) (x + 3y)² = x² + 6xy + 9y²

b) (2x + 4y)² = 4x² + 16xy + 16y²

c) (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25

d) (x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

e) (3x + y)⁵ = 243x⁵ + 405x⁴y + 270x³y² + 90x²y³ + 15xy⁴ + y⁵

Suas respostas bateram com as minhas?

É muito trabalhoso desenvolver as questões "d" e "e" do jeito que vimos até agora... Há um método que pode facilitar um pouco para chegarmos a este mesmo desenvolvimento.

Mas, antes disso você precisa lembrar alguma coisas importantes:

Isso é um binômio: x+y

Um binômio é uma expressão algébrica que consiste em dois termos ligados por um sinal de mais ou de menos.

Ao elevá-lo a um expoente, tornando-o uma potência, como por exemplo (x+y)⁶, e desenvolvendo isso daremos origem a um polinômio.

Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma algébrica de monômios...

E um monômio é uma expressão matemática de um único termo que não envolve, portanto, as operações de soma ou subtração.

Muita informação para você?

Em Matemática também veremos a expressão "número binomial".

De uma forma bem simplista, "número binomial" é uma forma de representar uma "combinação simples"...

Combinação simples é um tipo de agrupamento da análise combinatória, em que usa-se poucos elementos de um grupo disponível, e a ordem do agrupamento não importa no resultado. A fórmula de combinação simples é dada por:

Onde n representa o total dos elementos disponíveis, e p, o total de elementos tomados. É importante memorizar que sempre p será menor que n.

No caso de número binomial teremos essa grafia:

Mas nesse caso é importante memorizar que p pode até chegar a ser igual a n, mas nunca será maior.

Como mencionado antes, "número binomial" é uma forma de representar uma "combinação simples", assim a fórmula para o seu cálculo será:

Está bem! Mas o que isso tem a ver com o que estávamos vendo antes?

Acontece que cada termo do desenvolvimento de uma potência de um binômio, como a (x + y)⁶, pode ser formado por um número binomial juntamente com os fatores algébricos que o compõem.

Em suma, sendo uma potência de binômios representada por (a + b)ⁿ, em que a e b são os monômios que formam este binômio, e o "n" é o expoente da potenciação.

Podemos considerar cada um dos termos que formarão o polinômio do desenvolvimento como sendo:

Deu um nó na cabeça?

Vamos tentar desatar este nó com uma exemplificação básica...

Suponha as seguintes situações:

a) (x + y)⁰ =

b) (x + y)¹ =

c) (x + y)² =

d) (x + y)³ =

e) (x + y)⁴ =

f) (x + y)⁵ =

g) (x + y)⁶ =

Algumas delas até já tínhamos desenvolvido antes.

Agora imagine que um número binomial pode ser representado por uma peça de dominó:

Assim, para aquelas situações expostas anteriormente teríamos as peças organizadas da seguinte forma:

Ou melhor, cada linha representa uma das expressões:

Como só os dominós não vão fazer a mágica acontecer... Vamos completar com as potências de x:

Observe que, em cada caso, o expoente atribuído a x começa com o valor da parte de cima da primeira peça de dominó (do número binomial) e vai decrescendo até zero.

Ainda preciso completar com as potências de y:

Observe que o que ocorre com os expoentes de y é o oposto do que ocorreu com os expoentes de x. Podemos dizer que o valor do expoente de y sempre acaba sendo igual a parte de baixo da peça de dominó.

Completamos com os sinais de adição que estão faltando:

É óbvio que o uso dos dominós é apenas um jeito romantizado para exprimir como os números binomiais se comportam no desenvolvimento das contas.

Observe a linha com expoente 6... como ela fica sem o uso dos dominós:

Ao calcular todos os números binomiais que compõem os termos da expressão, voltaremos ao desenvolvimento findado:

(x + y)⁶ = x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + y⁶

Considerações importantes:

Qualquer coisa elevado a zero resultará em 1:

x⁰ = 1

y⁰ = 1

Qualquer coisa elevado a um resultará nela mesma:

x¹ = x

y¹ = y

Qualquer coisa vezes um ainda será ela mesma:

25 ⋅ x⁰ = 25 ⋅ 1 = 25

E também, por convenção, 0! = 1.