Conhecimentos prévios que você precisa ter para compreender este artigo:
a) Fatorial de um número;
b) Produtos notáveis;
c) Regras de potenciação;
d) Multiplicação distributiva.
-------------------------------------------------
Preparado paro nosso estudo?
-------------------------------------------------
Já tentou desenvolver a expressão (x + y)³ ?
Certamente já deve ter feito isso com (x + y)²...
Vejamos... Vamos desenvolver essa expressão:
(x + y)² =
(x + y)⋅(x + y)=
x² + xy + xy +y² =
x² + 2xy + y²
Observe que se trata de um produto notável.
E agora você pode fazer o mesmo com (3x + y)² ?
Claro que sim... Vou te ajudar:
(3x + y)²=
(3x + y)⋅(3x + y)=
9x² + 3xy + 3xy + y² =
9x² + 6xy + y²
Voltando àquela primeira (x + y)³... Vamos desenvolvê-la:
(x+y)³=
(x+y)⋅(x+y)⋅(x+y)=
(x² + 2xy + y²)⋅(x+y)=
Observe que fiz os primeiros dois fatores e deixei o terceiro para depois...
(x² + 2xy + y²)⋅(x+y)=
x³ + x²y + 2x²y + 2xy² + xy² + y³ =
x³ +3x²y + 3xy² + y³
Ok! Agora vou deixar para você o desenvolvimento destes aqui de baixo:
Exercícios:
a) (x + 3y)² =
b) (2x + 4y)² =
c) (2x + 5)² =
d) (x + y)6 =
e) (3x + y)5 =
Tente desenvolver estes ai de cima e depois de terminar, daqui alguns minutos, volte aqui e confira as respostas que estarão mais adiante...
O que achou do trabalho em desenvolver as questões "d" e "e" ? Horrível? Trabalhoso? Cansativo?
Confira as respostas:
a) (x + 3y)² = x² + 6xy + 9y²
b) (2x + 4y)² = 4x² + 16xy + 16y²
c) (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25
d) (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y² + 20x³y³ + 15x²y4 + 6xy5 + y6
e) (3x + y)5 = 243x5 + 405x4y + 270x³y² + 90x²y³ + 15xy4 + y5
Suas respostas bateram com as minhas?
É muito trabalhoso desenvolver as questões "d" e "e" do jeito que vimos até agora... Há um método que pode facilitar um pouco para chegarmos a este mesmo desenvolvimento.
Mas, antes disso você precisa lembrar alguma coisas importantes:
Isso é um binômio: x+y
Um binômio é uma expressão algébrica que consiste em dois termos ligados por um sinal de mais ou de menos.
Ao elevá-lo a um expoente, tornando-o uma potência, como por exemplo (x+y)6, e desenvolvendo isso daremos origem a um polinômio.
Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma algébrica de monômios...
E um monômio é uma expressão matemática de um único termo que não envolve, portanto, as operações de soma ou subtração.
Muita informação para você?
Em Matemática também veremos a expressão "número binomial".
De uma forma bem simplista, "número binomial" é uma forma de representar uma "combinação simples"...
Combinação simples é um tipo de agrupamento da análise combinatória, em que usa-se poucos elementos de um grupo disponível, e a ordem do agrupamento não importa no resultado. A fórmula de combinação simples é dada por:
Onde n representa o total dos elementos disponíveis, e p, o total de elementos tomados. É importante memorizar que sempre p será menor que n.
No caso de número binomial teremos essa grafia:
Mas nesse caso é importante memorizar que p pode até chegar a ser igual a n, mas nunca será maior.
Como mencionado antes, "número binomial" é uma forma de representar uma "combinação simples", assim a fórmula para o seu cálculo será:
Está bem! Mas o que isso tem a ver com o que estávamos vendo antes?
Acontece que cada termo do desenvolvimento de uma potência de um binômio, como a (x + y)6, pode ser formado por um número binomial juntamente com os fatores algébricos que o compõem.
Em suma, sendo uma potência de binômios representada por (a + b)n, em que a e b são os monômios que formam este binômio, e o "n" é o expoente da potenciação.
Podemos considerar cada um dos termos que formarão o polinômio do desenvolvimento como sendo:
Deu um nó na cabeça?
Vamos tentar desatar este nó com uma exemplificação básica...
Suponha as seguintes situações:
a) (x + y)0 =
b) (x + y)¹ =
c) (x + y)² =
d) (x + y)³ =
e) (x + y)4 =
f) (x + y)5 =
g) (x + y)6 =
Algumas delas até já tínhamos desenvolvido antes.
Agora imagine que um número binomial pode ser representado por uma peça de dominó:
Assim, para aquelas situações expostas anteriormente teríamos as peças organizadas da seguinte forma:
Ou melhor, cada linha representa uma das expressões:
Como só os dominós não vão fazer a mágica acontecer... Vamos completar com as potências de x:
Observe que, em cada caso, o expoente atribuído a x começa com o valor da parte de cima da primeira peça de dominó (do número binomial) e vai decrescendo até zero.
Ainda preciso completar com as potências de y:
Observe que o que ocorre com os expoentes de y é o oposto do que ocorreu com os expoentes de x. Podemos dizer que o valor do expoente de y sempre acaba sendo igual a parte de baixo da peça de dominó.
Completamos com os sinais de adição que estão faltando:
É óbvio que o uso dos dominós é apenas um jeito romantizado para exprimir como os números binomiais se comportam no desenvolvimento das contas.
Observe a linha com expoente 6... como ela fica sem o uso dos dominós:
Ao calcular todos os números binomiais que compõem os termos da expressão, voltaremos ao desenvolvimento findado:
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y² + 20x³y³ + 15x²y4 + 6xy5 + y6
Considerações importantes:
Qualquer coisa elevado a zero resultará em 1:
x0 = 1
y0 = 1
Qualquer coisa elevado a um resultará nela mesma:
x¹ = x
y¹ = y
Qualquer coisa vezes um ainda será ela mesma:
25 ⋅ x0 = 25 ⋅ 1 = 25
E também, por convenção, 0! = 1.
